On structural property of free groups.

Lorsque j’ai commencé à revoir mes études précédents, j’ai rendu compte que cela m’a fait beaucoup énerver que je n’ai pas obtenu les intuitions propres des concepts. Considérons un groupe abélien libre au dessus d’une partie $𝐴$. C’est bien connu que $𝐹\left(𝐴\right)$ n’est qu’un groupe dont les éléments sont les concaténations des lettres dans $𝐴$, quand on dit que $𝐴$ est un alphabet. Cependant, quand on se tourne vers les groupes abéliens, la structure intérieure se fond immédiatement à cause de la commutativité.

Commençons par les parties.

Quand je fais face aux opérations sur les structures algébriques, je préfère souvent considérer les opérations par rapport aux parties, et puis je complète les résultats en fonction des règles algébriques. Cela explique souvent des isomorphes qui, à premire vue, me semblent bizarres.

Au début, considérons deux groupes abéliens $𝐴$ et $𝐵$, on vise à trouver leur coproduit $𝐴\coprod 𝐵$. Un résultat direct s’appelle “le produit libre” $𝐴\ast 𝐵$. On dit que c’est le groupe qui comporte tous les éléments engendrés par le grammaire régulière

$${\left(𝐴|𝐵\right)}^{\ast }=\left\{{𝑎}_1,{𝑏}_1,{𝑎}_1{𝑏}_1,{𝑎}_1{𝑏}_1{𝑎}_2{𝑏}_2,\dots \right\}$$

où ${𝑎}_{𝑖}\in 𝐴$ et ${𝑏}_{𝑖}\in 𝐵$. C’est une définition assez surprenante à première vue parce qu’on n’en a aucune intuition. Mais si l’on commençons par les parties cela devient plutôt auto-explicative. On les voit en premier comme deux parties $𝐴$ et $𝐵$, on connaît déjà leur coproduit:

$$𝐴\coprod _{\text{𝐒𝐞𝐭}}𝐵=\left(\left\{1\right\}\times 𝐴\right)\cup \left(\left\{2\right\}\times 𝐵\right)$$

c’est-à-dire tous les éléments comme

$$\left(1,𝑎\right)\text{ou}\left(2,𝑏\right)\text{où}𝑎\in 𝐴\text{and}𝑏\in 𝐵$$

donc

$$𝐴\coprod _{\text{Set}}𝐵=\left\{\left(1,{𝑎}_1\right),\left(1,{𝑎}_2\right),\left(2,{𝑏}_1\right),\left(2,{𝑏}_2\right),\dots \right\}$$

Mais ce n’est pas encore un groupe, par exemple on ne sais pas qu’est-ce que c’est $\left(1,{𝑎}_1\right)\cdot \left(2,{𝑏}_2\right)$ où $\cdot$ est l’opération de groupe. Il faut alors “compléter” cette partie par rapport aux règles de groupe, c’est-à-dire, cette partie doit être stable pour l’opération $\cdot$, alors maintenant

$$\left(1,{𝑎}_1\right)\cdot \left(2,{𝑏}_1\right)\cdot \dots$$

devient un élément, si l’on utilise ${𝑎}_{𝑖}$ pour les éléments dans $𝐴$ et ${𝑏}_{𝑖}$ pour les éléments dans $𝐵$, alors il devient

$${𝑎}_1{𝑏}_1{𝑎}_2{𝑏}_2\dots$$

et on a donc récupéré la définition du produit libre. Les axiomes et les règles de groupe sont satisfaits automatiquement, parce que tout ${𝑎}_{𝑖}$ et ${𝑏}_{𝑖}$ proviennent originalement de groupes.

Le groupe libre

On marche alors vers le groupe libre, le groupe libre dans $\text{𝐆𝐫𝐩}$ est un peu ennuyeux, on se concentre sur le groupe libre dans $\text{𝐀𝐛}$. Un très beau résultat dans la théorie des groupes, c’est que l’abélianisation d’un groupe libre “écrase” sa structure interne. Soit $𝐺$ un groupe dans $\text{𝐆𝐫𝐩}$, alors $𝐹\left(𝐺\right)$ n’est que tous les mots sur l’alphabet $𝐺$, complété par rapport aux règles et aux axiomes de groupe. Donc cela a rendu très bizzare le groupe ${𝐹}^{\text{ab}}\left(𝐺\right)$ parce que ${𝐹}^{\text{ab}}\left(𝐺\right)\cong {\mathbb{Z}}^{\oplus 𝐺}$, ou on écrit également

$${𝐹}^{\text{ab}}\left(𝐺\right)\cong \underset{𝑔\in 𝐺}{⨁}\mathbb{Z}$$

Faites une pause maintenant et réfléchissez qu’est-ce que cela veut dire. On commençe comme d’habitude par les groupes libres ordinaires $𝐹\left(𝐺\right)$, ils ont pour ses éléments comme

$$𝑥𝑦𝑥𝑧𝑦𝑧$$

ou $𝑥,𝑦,𝑧\in 𝐺$, maintenant on le mit dans $\text{𝐀𝐛}$, on peut l’réarranger grâce à la commutativité

$${𝑥}^2{𝑦}^2{𝑧}^2$$

alors il est bien compris que chacun des éléments de $𝐹\left(𝐺\right)$ correspond uniquement à une fonction

$$𝑗:𝐺\to \mathbb{Z}$$

elle répresent on a élevé quel éléments à quelle puissance. WIP.