Il y a beaucoup de livres sur la théorie axiomatique des ensembles, ces livres vous introduiront les axiomes, principalement les axiomes du système de ZFC, mais il y en a moins qui vous expliquer pourquoi on choisit ces axiomes, au lieu des autres, dans cette article, je vous introduirai l'expérience mentale derrière les théories axiomatiques des ensembles, et comment peut-on dériver ces axiomes.

La hiérarchie cumulative-itérative.

  Le désavantage majeur de la théorie ramifiée des types de Russell, c'est que cette théorie n'est pas vraiment pratique à appliquer: il y a eu des théorems qui utilisent des définitions imprédicatives, mais en même temps n'exposent pas de paradoxe, ces définitions imprédicatives ne seraient pas aussi mals, mais notre théorie ramifiée des types les rejete tous.

  Qu'est-ce que la bonne imprédicativité et qu'est-ce que la mauvaise imprédicativté? Comment peut-on les distinguer? Pour y répondre, rappelons la définition d'imprédicativité:

Une définition s'appelle imprédicative, si la quantification de cette définition invoque certaines formes de totalité d'un genre quelconque d'objets, et y définit un nouvel objet.

  Mais, il est objecté qu'il y ait des définitions imprédicatives qui ne déclenchent pas de paradoxe. Observons la définition: "le personne le plus grand parmi tous les humains", "l'ordinateur le plus rapide parmi ce groupe d'ordinateurs", ces définitions sont imprédicatives, et ils se partagent une propriété spéciale: malgré qu'ils soient imprédicatives, ils peut se spécifier, ou dit, se construire, sans aucun référence à l'imprédicativité, on peut simplement pointer ce personne ou cet ordinateur. Il est donc dit, par Frank Ramsey, qu'une définition imprédicative soit male si et seulement si l'on ne peut pas le spécifier d'une autre manière prédicative. ¹

  Il est donc proposé, une autre vue d'ensembles, on considère les ensembles comme des objets mathématiques construits, au lieu d'une collection de certaines objets mathématiques satisfaisant des propriétés arbitraires (on l'abrège souvents comme Compréhension Naïve, où l'ensemble lui-même vient de nulle part, on ne l'a jamais construit, on l'a décrit simplement).

  Le processus de ce genre de constructions ressemble à celui de la théorie ramifiée des types: il y a des différents genres d'ensembles, ramifiés en différents niveaux, cependant, à la différence de la théorie des types, cette ramification agit au processus de la construction, au lieu des ensembles eux-mêmes; donc tous les ensembles sont. c'est-à-dire, encore ensembles, il n'y a pas d'univers différents Set_1, Set_2, ..., Set_n qui les séparent, et par suite évite les désavantages de la théorie des types.

Les axiomes, ils viennent d'une expérience mentale

  Le processus on a introduit ci-dessus s'appelle la hiérarchie cumulative-itérative, il construit tous les ensembles possibles étape à étape, c'est en fait une expérience mentale: tout ensemble a une propriété supplémentaire: son étape auquel il est formé, les étapes ont des ordres, chacun de ces étapes a certaines étapes avant lui, et les ensembles à chaque étape se construit d'ensembles dont l'étape est avant eux.

  L'itération est un processus fini mais peut être exécuté ad infinitum, alors il devrait y avoir un premier étape tel qu'il n'y ait pas d'étape avant lui et donc pas d'ensembles peut s'utliser pour y construire les ensembles, alors, on peut seulement y former un seul ensemble: l'ensemble vide \empty, au ètape suivant, il y a évidemment un ensemble \empty, et un autre ensemble \lbrace \empty\rbrace, alors à cet étape on a deux ensembles \empty et \lbrace \empty\rbrace, il se trouvera, sans aucun difficulté, qu'au troisième étape on a \empty, \lbrace \empty\rbrace, \lbrace \empty,\lbrace\empty\rbrace\rbrace, ce processus s'étend ad infinitum et on aura \lbrace\empty,\lbrace\empty\rbrace, \lbrace \empty,\lbrace\empty\rbrace\rbrace\rbrace, \lbrace\empty,\lbrace\empty\rbrace, \lbrace \empty,\lbrace\empty\rbrace\rbrace, \lbrace\empty,\lbrace\empty\rbrace, \lbrace \empty,\lbrace\empty\rbrace\rbrace\rbrace\rbrace, etc. Et il n'y a pas d'ensemble que ces ensembles formés.

  Je suppose que vous seyez quelqu'un qui avez certaines compréhensions sur la théorie axiomatique des ensembles, si c'est le cas, vous trouveriez peut-être que ça nous dise qu'il y a une infinité d'ensembles, en effect et de plus, tous les axiomes de la théorie peut être dérivés (ou dit, expliqués) à partir de cette expérience mentale. Par exemple, voyons encore une fois l'axiome de compréhension, c'est indéniablement le concept le plus important dans la théorie des ensembles, il nous permet de construire des ensembles raisonnables. Soit A un ensemble, par notre hiérarchie, A est formé à un certain étape S, alors il doit y avoir des étapes avant S, et tous les éléments de A sont formés à ces étapes, maintenant soit \varphi une fonction propositionnelle, on peut choisir les éléments satisfaisant \varphi et apparaissant à A, donc on aura un nouvel ensemble \lbrace x\in A | \varphi(x)\rbrace. Cet ensemble est bien défini à l'égard de la hiérarchie: puisque tous ces ensembles apparaissent à A, leur existence est justifiée (cf. l'explication ci-dessus), et puisque ils sont des ensemble avant S, alors au étape S on peut construire un ensemble les contenant exactement, i.e., \lbrace x\in A | \varphi(x)\rbrace. En écrivant cette observation en un langage logique, on a schéma d'axiomes de séparation, i.e., on a séparé un ensemble à partir de A, il dit: chaqun des prédicates \varphi(x) correspond à un ensemble:

\forall A. \exists S.\forall x. [x\in S\iff (\varphi(x)\land x\in A) ]

L'ensemble S est exactement notre nouvel ensemble.

  La théorie axiomatique des ensembles est créée pour éviter le paradoxe de Russell, alors pour justifier notre expérience mentale, on a besoin de voir qu'il est capable d'éliminer le paradoxe. Rappelons la formulation du paradoxe de Russell:

R=\lbrace x\in A | x\notin x\rbrace

Cet ensemble n'est pas paradoxal dans notre cadre: tous les éléments de R, ce qui sont des éléments de A, ce qui à son tour sont des ensembles qui sont formés avant l'étape de S, R ne peut pas donc contenir lui-même, car un ensemble ne peut pas contenir un autre ensemble ayant le même étape.