Borel measure and Lebesgue measure

由于在看实分析书籍的时候对 Lebesgue 测度，Lebesgue 外测度，以及 Borel 测度的关系傻傻分不清，于是我决定写一篇笔记来讲他们之间的联系。我们先分别介绍他们的定义，然后介绍他们之间的联系和包含关系。

2 Lebesgue 测度

测度论的核心在于去掉一个空间中性质不好的部分，保留下性质好的部分，因此测度一般都对自己所处的空间要求非常高。尽管在历史上 Borel 测度的概念要更早出现，但是目前国内课本对 Lebesgue 测度和可测空间的介绍往往与历史顺序截然不同，Lebesgue 测度是一个在 $𝑛$ 维欧几里得空间 ${ℝ}^{𝑛}$ 上的测度理论，该理论往往以 Carathéodory 的外测度作为引入概念。外测度是一个比 Lebesgue 测度更为宽泛的概念。上文提到过，测度往往对自己所处的空间有一定的要求，Lebesgue 测度也是这样。国内课本先于测度而引入外测度的原因在于遵循从特殊到一般的规律，当我们讨论 Borel 测度时，这点特征会更加明显。我们先按照国内课本的顺序来介绍 Lebesgue 测度理论，从 Carathéodory 的外测度开始。

外测度有一个不好的性质：次可数可加性。这个不等式让我们没法正确对集合的大小做精确计算，因此我们希望能够将这个不等号变成等号。注意到外测度的一个主要问题是，它定义在集合 $𝑋$ 的所有子集上，而这某种程度上正是这种不精确性的来源，如果我们将外测度限定在保证可数可加性的集合上，则就可以创造出一个精确的测量工具。于是，Carathéodory 给出了如下条件：

我们取出 $𝑋$ 中所有相对于 ${𝑚}^{\ast }$ 满足 $𝐶$-条件的子集 $\left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$ 构成一个集族，则容易验证，${𝑚}^{\ast }$ 在这个集族上满足可数可加性，即

$${𝑚}^{\ast }\left(\bigcup _{𝑛=1}^{\infty }{𝐴}_{𝑛}\right)=\sum _{𝑛=1}^{\infty }{𝑚}^{\ast }\left({𝐴}_{𝑛}\right)$$

此时我们称 ${𝑚}^{\ast }$ 是 $\left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$ 上的一个测度。同样，我们容易验证，这样的集族 $\left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$ 满足如下一些性质

1. $𝑋\in \left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$
2. 如果 $𝐸\in \left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$，则 $𝑋\setminus 𝐸\in 𝐴$
3. 如果 ${𝐴}_1,{𝐴}_2,\dots$ 是可数多个 $\left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$ 中的集合，则 ${\bigcup }_{𝑖=1}^{\infty }{𝐴}_{𝑖}\in \left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$

其中结合第一第二第三条，可以得到更多有关 $\left\{{𝐴}_{𝑛}\right\}$ 性质。

但是，$𝐶$-条件与外测度只告诉了我们测度的公理化定义，以及在什么情况下一个外测度可以变成一个测度，却并没有告诉我们该怎么定义一个测度。这就是 Lebesgue 理论出场的时候了。尽管在历史上 Lebesgue 对测度的定义早于 Carathéodory，但在此处我们将其作为 Carathéodory 的公理化的一个在 ${ℝ}^{𝑛}$ 上的实现。

令 $\mathrm{ℒ︀}\left({ℝ}^{𝑛}\right)$ 是 ${ℝ}^{𝑛}$ 中所有相对于 ${𝜆}^{\ast }$ 满足 $𝐶$-条件的子集，则 ${𝜆}^{\ast }$ 成为一个 $\mathrm{ℒ︀}\left({ℝ}^{𝑛}\right)$ 上的测度，称为 ${ℝ}^{𝑛}$ 上的标准 Lebesgue 测度。

以上，我们就完成了对 Lebesgue 测度的形式化定义。与 Lebesgue 测度对应的一般还有一个 Borel 测度，Borel 测度相对于 Lebesgue 测度定义在更加抽象的集合上，与 Lebesgue 测度只考虑 ${ℝ}^{𝑛}$ 不同，Borel 将测度的概念成功抽象到了一般的拓扑空间上。

3 Borel 测度

在上文中，我们提到了满足 $𝐶$-条件的集族拥有一些特征，特别的，全集属于该集族，且该集族对可数并和补集封闭。在介绍 Borel 测度时，我们一般会将这一概念公理化，我们称这样的集族构成了一个 $𝜎$-代数。

与 Lebesgue 理论中引入概念的顺序相反，在 Borel 理论中，我们往往先定义测度空间。

W.I.P.

4 Borel 与 Carathéodory 对测度的不同抽象

5 ABC