En tant qu'un étudiant qui a exposé une fois, au logique, je suis sensible par rapport aux expressions mathématiques, les sémantiques des symboles formels, et c'est pourquoi les notations de probabilité, celles-là me troublent beaucoup. Et beaucoup de livres, y compris ce que j'utilise maintenant n'y font pas trop attention. Lors qu'on dit "un variable aléatoire", e.g. "Soit un variable aléatoire qui représente les hauteurs humaines", on le considère comme un nombre, et quand on écrit , on ne dirait que la probabilité d'un nombre inconnu se trouve être . Mais cette interprétation devient en panne quand on fait face à la définition de la convergence en probabilité

   

Cet article court vise à expliquer d'une manière formelle ces concepts, avec une bonne intuition afin qu'on ne se perde pas dans le formalisme. 

On n'a pas besoin du mesure aujourd'hui, cela va finir bientôt. On parle désormais à l'intérieur d'un univers , et on peut prendre des échantillons depuis . On arrive souvent à notre premier malentendu ici: un échantillon, ce n'est pas un individuel dans l'univers, en revanche, le résultat d'un échantillonnage parcourrait l'univers plénier, alors on traite un échantillon comme une fonction au profit de le bien décrire, cette fonction, c'est un variable aléatoire , il est une fonction de dans (et certes, en principe on se permet de choisir d'autres espaces tant qu'il est mesurable). Cet étape nous laisse de voir des échantillons et des évènement arbitraires comme l'apparence des nombres; dit simplement, les variables aléatoires bâtissent un pont entre le monde non-mathématique à celui qui est. Avec les variables aléatoires on peut écrire des probabilité des évènements arbitraires comme celles des évènements de nombres , un évènement, c'est un ensemble où est un prédicat.

Maintenant on se tourne vers la fonction de densité et la fonction de loi, prenons comme un exemple un dé fair, les chances de tirer chaque nombre entre et sont équiprobables, alors l'univers c'est , soit   un variable sur cet univers, et soit 

   

si tu as une fois appris la probabilité, tu reconnais immédiatement que " suit un loi binomiale", mais qu'est-ce que cela veut dire? Remarques que envoie à et à , si on dessine cette application dans un diagramme, tu verras une ligne grêle à avec une hauteur , et c'est la fonction de densité, elle veut essentiellement dire que "combien d'échantillons le variable a-t-il envoyé à ce résultat, par rapport à l'univers plénier?".

On peut également se tourner vers le cas continu, e.g., soit suit une loi normale, dit, les hauteurs humaines, et supposons qu'on contrôle l'hauteur humaine par deux gènes indépendants: et , et chacun des gènes peut prendre beaucoup de valeurs: et , alors l'univers sera

   

et sera une telle fonction qui envoie une combinaison de gènes à un nombre (l'hauteur). Par exemple, il enverrait à l'hauteur "180cm". La fonction n'est pas fidèle: elle est tout à fait possible d'envoyer deux combinaisons à la même hauteur; puisque l'hauteur est une valeur continue, on dit toujours un intervalle d'hauteurs, au lieu d'une valeur précise, et du coup, envoie, par exemple, à , et envoie à , envoie à , etc.., et finalement, la phrase " suit une loi normale" dit que si on compte les tailles de , on trouvera que est plus grand, ensuite et , et puis d'autre intervalles. si on les range en une ligne par intervalles, ils forment une courbe en cloche, cette courbe est la fonction de densité de la loi normale, et également, elle veut dire que "combien d'échantillons le variable a-t-il envoyé dans cet intervalle, par rapport à l'univers plénier."

Et finalement c'est le moment pour expliquer la notation , , en soi-même, c'est une fonction qui accepte un évènement et, souviens-toi qu'un évènement, c'est simplement une partir , par conséquent serait aussi une partie de , on arrive à le faire d'une façons la plus directe, soit 

   

et plus généralement, soit un prédicat arbitraire sur , on écrit pour

   

Et enfin on est assez prêt pour expliquer la convergence en probabilité, on dit que une séquence de variables converge vers un variable en probabilité si 

   

Au profit de la simplicité, ignorons la fonction absolue, qu'est-ce que veut dire? Si on insiste à utiliser l'exemple de l'hauteur, on sait que et nous disent approximativement "j'enverrai une combinaison de gènes à quelle hauteur?", et par conséquent nous montre la distance entre les hauteurs auxquelles elles ont envoyées. Depuis ce point de vue, nous dit que la probabilité que cette distance dépasse finira par . Et si on se tourne vers un point de vue plus formel, on demande: quelle est la fonction de densité du variable ? Remarques que signifie que "la distance des hauteurs affectées par ces deux variables est plus grande que ", du coup par notre interprétation auparavant, la fonction de densité de nous montre "combien de combinaison de gènes dont la distance des hauteurs affectées par et tombe dans chaque intervalle, par rapport à l'univers plénier?", et par suite exige clairement que le nombre approximatif de combinaison de gènes dont la distance des hauteurs affectées par et dépasse devrait finir par .